París, 1773. Charles Augustin Coulomb decide publicar, en forma de ensayo, los cálculos y las notas sobre muros de contención (entre otros temas) que, a título personal, ha ido recopilando durante sus años como ingeniero militar en la Martinica. El ensayo propone una solución analítica muy alejada de la que conocemos hoy; de hecho, recuerda más a los métodos de rebanadas o dovelas. Coulomb, muy a su pesar, admite que es una solución complicada.

Prisión de Saratov, 1813. El ingeniero Jean Victor Poncelet, capturado en la retirada de Moscú, dedica el «tiempo libre» al estudio de la geometría proyectiva. En 1840 publica su método gráfico para resolver los empujes de Coulomb, simplificando el problema, 67 años después.

Viena, 1871. George Rebhann, Decano de la facultad de Ingeniería Civil, modifica el método de Poncelet. Han pasado 98 años desde su publicación y los tiempos han cambiado. El siglo XVIII exigía muros defensivos, el siglo XIX exige muros de ferrocarril. El método de Rebhann-Poncelet permanecerá en los planes de estudio de Ingeniería Civil hasta bien entrado el siglo XX.

Valencia, 2016. El autor del blog, de nuevo en España (¡¡ vacaciones !!) pasa la tarde del domingo jugando con el GeoGebra. Es la primera vez que usa el programa y utiliza muchas más construcciones auxiliares de las necesarias (lo que ocurre cuando uno se empeña en no leer el manual de instrucciones). Le da igual, asombrado de sus posibilidades, decide calcular algo, ¿Cullmann?, ¿Cremona?,¿polígonos funiculares…? no, muros.

El resto… es esto. Con ustedes, el método gráfico de Rebhann-Poncelet para el empuje activo de Coulomb en material granular… e interactivo.

Si, he dicho interactivo, haz la prueba, mueve los deslizadores:

Las instrucciones de uso son bastante claras (creo):

• Zoom con la rueda del ratón. Botón derecho para desplazar la figura. El icono superior derecho () reinicia el esquema.
• El perfil del terreno se puede modificar moviendo los puntos C y D
• Los ángulos de rozamiento del terreno (φ) y del contacto muro-terreno (δ) se pueden cambiar moviendo los respectivos deslizadores
• El ángulo ω es fijo, con un valor de 15º
• El punto M debe estar comprendido entre los puntos C y D
• Si el terreno no presenta ningún quiebro, el punto C debe coincidir con el vértice B (método de Poncelet).

El empuje activo es el área del triángulo LMN (sombreado en verde) multiplicado por el peso específico del terreno. El plano de rotura, de ángulo α, es la línea AM (en rojo).

La demostración es laboriosa, pero no complicada. Si alguien tiene interés la puede encontrar en el tomo 2 del recomendable «Mecánica de suelos» de Juárez Badillo y Rico Rodríguez», que incluye también la demostración del método original de Poncelet. El libro está disponible parcialmente en Google Books.

Nota: Me temo que el applet de GeoGebra sólo funcionará en página web, así que los aprox. 2500 suscriptores por RSS y correo electrónico tendréis que entrar al blog para verlo, lo siento.