El método gráfico de Rebhann-Poncelet para el empuje activo de Coulomb. Una aproximación interactiva

París, 1773. Charles Augustin Coulomb decide publicar, en forma de ensayo, los cálculos y las notas sobre muros de contención (entre otros temas) que, a título personal, ha ido recopilando durante sus años como ingeniero militar en la Martinica. El ensayo propone una solución analítica muy alejada de la que conocemos hoy; de hecho, recuerda más a los métodos de rebanadas o dovelas. Coulomb, muy a su pesar, admite que es una solución complicada.

Prisión de Saratov, 1813. El ingeniero Jean Victor Poncelet, capturado en la retirada de Moscú, dedica el “tiempo libre” al estudio de la geometría proyectiva. En 1840 publica su método gráfico para resolver los empujes de Coulomb, simplificando el problema, 67 años después.

Viena, 1871. George Rebhann, Decano de la facultad de Ingeniería Civil, modifica el método de Poncelet. Han pasado 98 años desde su publicación y los tiempos han cambiado. El siglo XVIII exigía muros defensivos, el siglo XIX exige muros de ferrocarril. El método de Rebhann-Poncelet permanecerá en los planes de estudio de Ingeniería Civil hasta bien entrado el siglo XX.

Valencia, 2016. El autor del blog, de nuevo en España (¡¡ vacaciones !!) pasa la tarde del domingo jugando con el GeoGebra. Es la primera vez que usa el programa y utiliza muchas más construcciones auxiliares de las necesarias (lo que ocurre cuando uno se empeña en no leer el manual de instrucciones). Le da igual, asombrado de sus posibilidades, decide calcular algo, ¿Cullmann?, ¿Cremona?,¿polígonos funiculares…? no, muros.

El resto… es esto. Con ustedes, el método gráfico de Rebhann-Poncelet para el empuje activo de Coulomb en material granular… e interactivo.

Si, he dicho interactivo, haz la prueba, mueve los deslizadores:

Las instrucciones de uso son bastante claras (creo):

  • Zoom con la rueda del ratón. Botón derecho para desplazar la figura. El icono superior derecho () reinicia el esquema.
  • El perfil del terreno se puede modificar moviendo los puntos C y D
  • Los ángulos de rozamiento del terreno (φ) y del contacto muro-terreno (δ) se pueden cambiar moviendo los respectivos deslizadores
  • El ángulo ω es fijo, con un valor de 15º
  • El punto M debe estar comprendido entre los puntos C y D
  • Si el terreno no presenta ningún quiebro, el punto C debe coincidir con el vértice B (método de Poncelet).

El empuje activo es el área del triángulo LMN (sombreado en verde) multiplicado por el peso específico del terreno. El plano de rotura, de ángulo α, es la línea AM (en rojo).

La demostración es laboriosa, pero no complicada. Si alguien tiene interés la puede encontrar en el tomo 2 del recomendable “Mecánica de suelos” de Juárez Badillo y Rico Rodríguez”, que incluye también la demostración del método original de Poncelet. El libro está disponible parcialmente en Google Books.

Nota: Me temo que el applet de GeoGebra sólo funcionará en página web, así que los aprox. 2500 suscriptores por RSS y correo electrónico tendréis que entrar al blog para verlo, lo siento.

Homenaje a José Antonio Jiménez Salas en el centenario de su nacimiento

El pasado 15 de marzo se celebró en Zaragoza un homenaje a D. José Antonio Jiménez Salas -padre de la geotecnia en España- en el centenario de su nacimiento.

He esperado unos días a ver qué encontraba publicado y creo que este corto vídeo de Aragón Digital es lo más representativo del evento (seguro que después de escribir esto encuentro algo mejor, siempre pasa).

Bueno, lo cierto es que si hay algo más publicado. La Revista de Obras Públicas le ha dedicado un número monográfico muy interesante, pero como la ROP cambia cada año* el criterio de libre acceso pues… ya veremos cuándo podemos leerlo “en abierto”.

(*) Primero se podía acceder a los artículos con más de 3 años de antigüedad, el año pasado lo cambiaron a ¡¡ 50 años !!, y ahora parece que son 11 años. Que va para largo, vamos.

La paradoja de Hambly: Cuando añadir más apoyos añade también más esfuerzo

Hambly (1985) propuso un problema pedagógico para ilustrar las dificultades en el proyecto de una estructura hiperestática:

Una lechera que pesa 600 N está apoyada sobre un taburete de tres patas. ¿Para qué esfuerzo básico debe calcularse cada pata del taburete?

Se considera que el taburete es simétrico, que la lechera está apoyada en su centro, y así sucesivamente.

La respuesta a la pregunta es, por supuesto, 200 N.

La misma lechera se apoya ahora en un taburete cuadrado con cuatro patas, una en cada esquina y, de nuevo, el taburete y la carga son simétricas. ¿Para que esfuerzos debe proyectarse cada una de las patas del taburete?

La respuesta de 150 N no es necesariamente correcta. Un robusto taburete de ordeñar casi rígido, situado sobre un suelo firme y también casi rígido en la nave de ordeñado, cojeará; tres de las patas estarán en contacto, soportando el peso de la lechera, pero la cuarta estará separada del suelo.

Si esta cuarta pata está separada por sólo una fracción de milímetro, no hay duda de que la fuerza que está soportando es cero. Por una simple consideración de estática, la fuerza en la pata situada en la diagonal opuesta también será cero, aunque parezca estar en contacto con el suelo.

El peso de la lechera, de hecho, estará soportado simétricamente por las otras dos patas del taburete, y cada una debe por tanto calcularse para soportar una fuerza de 300 N.

Ahora podemos imaginar que el taburete está situado arbitrariamente sobre un suelo irregular, y no hay manera de decidir a priori qué patas están en contacto —todas las patas deben, por consiguiente, ser proyectadas para soportar una fuerza de 300 N—.

Esta es la paradoja: la adición de una cuarta pata implica un incremento, en vez de un decremento, en el esfuerzo para el que deben proyectarse las patas.

[…]

Si se realizan los ensayos con flexímetros colocados en las patas, se verá que el esfuerzo en una pata puede tener cualquier valor entre 0 y 300 N, y un buen número de experimentos registrarán la carga como exactamente 0 ó 300 N.

Precisamente observaciones de este tipo fueron hechas por el Comité de Investigación de Estructuras de Acero en los años 1930, y su conclusión fue que la gran cantidad de imperfecciones geométricas en las estructuras hacían que el análisis elástico fuera la herramienta equivocada para el cálculo.

Estas observaciones, junto con los trabajos experimentales de Kazinczy. Maier-Leibnitz y otros, fueron las que condujeron a los métodos plásticos para el cálculo de estructuras de acero (o de cualquier estructura construida con cualquier material dúctil).

— “Análisis de estructuras: un estudio histórico”
Jacques Heyman. 1998

Aunque la versión española del libro traduce “stool” como silla, he preferido usar el término “taburete”, más coherente con el bovino ejemplo.

El hormigón armado, un desdichado matrimonio desigual

“El hormigón armado es un desdichado matrimonio desigual: el hormigón se fisura, el hierro se oxida y la teoría está en huelga.”

— Mirko Roš, 1921.

Mirko Roš, director del Instituto Federal de Ensayos de Materiales (EMPA) de Suiza, en 1921, describiendo perfectamente un material que, pese a sus defectos, se hace de querer.

La traducción es mía y, como siempre, mejorable. Los puristas pueden usar la cita original en alemán: “Eisenbeton ist eine unglückliche Mesalliance, das Eisen rostet, der Beton reisst und die Theorie streikt”; o su transcripción inglesa:“Reinforced concrete is an unfortunate misalliance: concrete breaks, iron rusts and theory is on strike”, que es la que yo he usado para la traducción, más que nada porque mi alemán no pasa del “Bitte, ein Bier. Danke”.

Nota: He estado a punto de traducir “misalliance” como “matrimonio morganático”, pero me ha parecido un poco extremo.

Nomenclatura de taludes: Grado, pendiente y porcentaje

Un esquema de los taludes más habituales en grados sexagesimales, pendiente (V:H) y porcentaje.

No recuerdo dónde vi este esquema por primera vez, lo que si recuerdo es que no hubo manera de hacerlo con Framework II o Lotus 1-2-3, que eran las hojas de cálculo que usaba por aquel entonces (finales de los 80), así que terminé dibujándolo en papel milimetrado (lo que me permitió comprobar que el esquema original tenía un error, por cierto).

Esquema Talud: Grados - Pendiente - Porcentaje

La siguiente versión, ya trabajando, fue en acetato transparente (si, eso que se usaba cuando no había PowerPoint) y resultaba muy útil para “intuir” -porque esa era la palabra- las pendientes en aquellos planos fotocopiados una y otra vez, cuando no enviados por fax, ¡¡ el horror !!.

Al empezar a trabajar en Bosnia decidí que ya era hora de actualizarlo, así que añadí todos los taludes que me he ido encontrando durante estos años y, ya de paso, cambié al formato V:H usado allí, más cercano al concepto de pendiente.

El archivo pdf está pensado para imprimir en A4. Espero que a alguien le sirva (y no haber cometido ningún error, claro).

icono pdfEsquema Talud: Grados – Pendiente – Porcentaje

 

PD: Otro día os cuento lo que uso para medir directamente en pantalla cuando me envían un archivo pdf o jpg.